Question d'un collègue sur des items du collège

Je recopie ici la correspondance faite sur Facebook avec un collègue qui enseigne en collège et désire avoir mon opinion sur certaines façons de parler. Il est toujours important de savoir exactement quand on abuse ou pas, pour ce qui concerne les mathématiques, et même si l'on s'adresse à des enfants. Présenter des notions comme évidentes quand elles ne le sont pas n'est pas bien : cela fausse le discours et nuit aux bons raisonnements.

Il faut savoir quand on admet un résultat, ou quand on fait un abus de langage ou d'écriture. Clarifier les notions mathématiques utilisées est important pour celui qui doit montrer aux élèves comment on aborde les choses en mathématiques.

Voici cette correspondance :


@@@ Lettre 1

Bonjour à vous,

Je vous écris aujourd'hui, car voilà plusieurs semaines que je cherche des réponses à certaines de mes questions, et je ne trouve rien sur le net ou dans les livres pour y répondre. Et mes collègues n'ont pas toujours les réponses non plus. J'espère que cela ne vous dérangera pas de m'éclairer.

1) Savez pourquoi on met un "x" et un "y" en "bout de droite, pour nommer une droite (xy) ? Et surtout, que représente ce "x" et ce "y" : les sens, directions ?

2) Au collège, on ne définit pas concrètement la notion de "proportion", il semblerait que l'on parle de proportion lorsqu'une fraction est mise dans un contexte quotidien, mais encore... Y-a-t-il une différence avec une fréquence ?

3) Dans la propriété : "à toute situation de proportionnalité correspond une fonction linéaire" : cela sous-entend il l'équation fonction linéaire = situation de proportionnalité, ou juste une implication ?

4) Nous utilisons dans le secondaire "expression littérale" et "expression algébrique", mais y-a-t-il une différence entre ces deux termes ?

Voilà pour mes premières questions.

Je vous remercie par avance du temps que vous prendrez pour me répondre, et espère trouver des réponses, car je commence à désespérer : le vocable au collège est si intense que parfois, les objets dont il est question ne sont pas définis clairement. Et j'aime bien savoir de quoi il en retourne exactement. Encore merci.


@@@ Réponse 1

1) Nommer une droite (xy) est simplement commode pour montrer deux "sens", et noter des demi-droites comme [Ax) par exemple. En maths, normalement la direction d'une droite affine (donc d'une droite "de points") est la droite vectorielle associée. Donc x et y ne sont pas des directions.

2) Il y a un lien entre proportion et fréquence, mais je pense que c'est le contexte qui l'indique, et ce n'est pas être dans tous les cas. Exemple : on peut parler de fréquence d'apparition du 1 sur 10 jets d'un dé à six faces. Et cette fréquence est exactement la proportion entre le nombre de jets qui ont donné 1, et le nombre d'essais au total.

3) Je pense qu'on équivalence entre la donnée d'une situation de proportionnalité, et la donnée d'une fonction linéaire de la forme f(x)=ax.

4) Là je ne vois pas trop de différence. Les deux usages sont corrects d'après moi.

Je comprends ce que vous dites : on emploie beaucoup de termes sans en avoir une définition précise, et c'est par l'usage qu'on "apprend" ces façons de parler.

Bonne journée à vous,
djm




@@@ Lettre 2

Une nouvelle fois, merci d'avoir pris le temps de me répondre pour m'aider.

Je regrette une chose : c'est que les enseignants du secondaire ne puissent pas rencontrer les professeurs d'universités ou autres afin de discuter sur les notions sous-jacentes ou les petites questions qui paraissent évidentes et pour lesquelles on n'ait pas forcément de réponse...

1) Vous me confirmer donc que x et y indique les deux "sens" de la droite qui a pour seule direction la droite (xy) ?

2) Autre question, que je me pose. On lit souvent : 
Propriété : Pour ABC triangle non aplati, il y a trois inégalités triangulaires (au sens strict). 
Conséquence : il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres pour montrer qu'un triangle non aplati existe. 
Dans les livres, on lit souvent cette propriété suivie de cette conséquence, mais pourriez-vous m'expliquer  comment on déduit la conséquence à partir de cette propriété ? Ce n'est pas quelque chose d'évident au premier abord...

Merci.



@@@ Réponse 2

1) Oui. Noter x est une façon de montrer sur le graphique que l'on va dans la direction "x", le mot "direction" étant ici utilisé comme dans le langage courant. Le problème vient qu'en mathématiques, la direction d'une droite est la droite vectorielle associée. Autre façon de dire cela: la relation de parallélisme entre les droites du plan est une relation d'équivalence, et les classes d'équivalence sont les "directions de droites".

Mais en collège, vous pouvez parler de direction x "dans le sens usuel" de "trouver sa direction" quand on est sur une route.

Ne vous faites pas trop de bile à ce sujet, ce n'est pas grave, à mon sens, à ce niveau (et même après).

2) Ah non ! Vous avez extrêmement raison, et c'est une belle erreur de logique de donner la propriété (qui rend compte d'une implication "si j'ai un triangle alors j'ai les 3 inégalités triangulaires", puis de faire croire que la conséquence que vous donnez provient directement de cette propriété !

Ou alors c'est de la manipulation et on se moque de nous (!).

Si la  plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres, on vérifie facilement que les trois inégalités triangulaires sont vraies. Mais cela ne montre pas que le triangle de longueurs imposées existe. 

Pour ce faire, il faut construire effectivement un tel triangle, et la construction ne vient pas tout de suite à l'esprit. L'idée est de raisonner par analyse synthèse. Si un tel triangle existe, on calcule une mesure de l'angle A en utilisant le Théorème d'Al Kashi et on obtient une valeur obligée. Puis on montre que la construction est possible en construisant deux demi-droites de même origine déterminant un angle de mesure celle qu'on vient de calculer, on reporte des distances, et on vérifie que les trois distances du triangle construit sont comme on le voulait.

On retrouve ce développement bien détaillé dans la section 2.4 de Géométrie du collège pour les matheux. Peu de personnes le savent... Et vous avez raison de considérer le raccourci fait en collège comme de l’esbroufe mathématique.

Bonnes déductions...
djm


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