Lacunes impardonnables : pourquoi les 1440 postes du CAPES maths ne seront pas encore pourvus cette année !


A quoi sert ce texte ?
  • A faire le point sur la préparation au CAPES ?
  • A dire tout ce que j'ai à dire à mes étudiants et que je n'aurai jamais le temps de dire ?
  • A analyser des erreurs et prendre conscience du chemin à parcourir et du travail de fond à fournir pour devenir professeur de mathématiques ?
Il y a un peu de tout ça. Je vais parler franchement, parce que cela peut permettre de prendre conscience de certaines choses. C'est partial puisque c'est moi parle, mais le lecteur pourra réagir comme il le désire à la fin de l'article.

Commençons par dédouaner nos CAPESiens. Nos étudiants ayant une licence de maths ont beaucoup plus de difficultés pour raisonner et rédiger qu'il y a quelques années. On s'enfonce toujours un peu plus depuis 20 ans, ce n'est donc pas un scoop. Le scoop, c'est qu'on continue de s'enfoncer. Ce n'est pas entièrement de la faute des étudiants : notre société récolte malheureusement ce qu'elle a semé depuis l'abandon de la vraie série scientifique C du lycée, la mise en place de la seconde indifférenciée ouverte à tous même à ceux qui n'ont pas le niveau ni l'envie de comprendre des matières comme les mathématiques ou les sciences physiques (ils possèdent leurs habiletés ailleurs), et depuis la réduction drastique des horaires hebdomadaires de maths au secondaire.

Pour la diminution des horaires d'enseignement des sciences au secondaire, contentons-nous de rappeler deux points :

  • Entre 1992 et 2012 et pour les seules classes de première et terminale scientifiques, la baisse du volume d'enseignement des matières scientifiques a atteint 20%. Sur cette même période, de la sixième à la terminale scientifique, tout se passe comme si l'on avait supprimé une année entière d’enseignement des mathématiques sur les 7 années du secondaire, soit 5 heures par semaine pendant une année.
  • La réforme du collège promise à la rentrée 2016 aura pour effet de faire diminuer les horaires hebdomadaires de maths de 4h à 3h30, voire à 2h30 en comptant les heures qui seront ponctionnées pour faire fonctionner ces fameux EPI (Enseignements pratiques interdisciplinaires) où les maths ne compteront plus que pour du beurre.

A l'université ensuite, la mode est au morcellement et à l'éparpillement. On rajoute des semestres de méthodologie pour attendre encore sa spécialisation, on multiplie les stages qui n'ont rien à voir avec la discipline que l'on étudie, on découpe les savoirs en petits paquets de 24h sur des années découpées en semestres qui durent moins de 10 semaines effectives quand on tient compte des partiels, des examens, des deux sessions à placer dans l'année, et de l'obligation d'espacer ces sessions sur plusieurs semaines, et d'arrêter les cours bien avant le début des contrôles.

Nous sommes tous dans une belle galère, et il faut maintenant ramer pour tenter de maintenir la tête hors de l'eau !

Imposer le master pour enseigner en collège, n'a pas amélioré le niveau des candidats de mathématiques, car les deux années de préparation au concours de recrutement du CAPES sont phagocytées par de nombreux enseignements qui n'ont rien à voir avec les mathématiques. Un exemple : je dispose de seulement 42 heures d'enseignement en master première année pour faire réviser des pans d'algèbre et d'arithmétique avant de laisser partir mes étudiants au feu du concours. Bien que licenciés en mathématiques, ceux-ci ont des lacunes importantes et se battent pour les combler, mais le jeu est bien inégal. Les années perdues avant la licence ne se rattrapent pas en 42 heures. Et en master 2, on ne fait plus de mathématiques, on s'intéresse uniquement au stage et au mémoire professionnel.

Les raisonnements sont souvent faux ou vérolés, ce qui est un comble pour des spécialistes des mathématiques qui devront être les professeurs de nos enfants. Les définitions ne sont pas connues, et souvent mal utilisées quand elles le sont. Des difficultés inouïes apparaissent quand il faut faire des phrases complètes à l'oral ou rédiger une démonstration sur sa copie. Ce sera à chacun de travailler dur dans son coin pour tenter d'atteindre un niveau suffisant.

Je viens de corriger un contrôle d'une heure de mes préparationnaires CAPES, sur des exercices déjà traités en salle le mois précédent. Tout le monde était averti qu'il fallait réviser tous les TD depuis septembre, sachant que je ne modifierai pas les énoncés que je choisirai.

Les exercices que l'on étudie en TD sont très importants pour le CAPES : ils sont rattachés à des connaissances essentielles que l'on ne peut pas ignorer, et mes étudiants savent qu'il faut se les poser, y réfléchir, les rechercher et les rédiger soi-même. Ces exercices (regroupés dans le volume d'arithmétique de la collection PREPA CAPES MATHS) révèlent l'état de connaissances du candidat : ils sont si importants que je conseille d'y revenir plusieurs fois pour vérifier à chaque fois si l'on retrouve une réponse et si on est capable de la rédiger.

Chercher et rédiger juste est primordial dans l'entraînement au CAPES. C'est seulement quand on sait qu'on est capable de rédiger une solution à partir de son brouillon avec une probabilité de 90% de récolter tous les points donnés à la question, que l'on peut (doit) se permettre de moins mettre l'accent sur la rédaction, et que l'on peut se contenter de rédiger vraiment un exercice sur trois, puis un exercice sur 10, jusqu'à ne plus jamais rédiger quand on est en phase d'entraînement, et tout faire au brouillon.

Un licencié de mathématiques qui sait quels exercices seront posés devrait pouvoir obtenir au moins la moyenne à cette épreuve. Peu y sont arrivés, et les erreurs lues sur les copies sont glaçantes. Elle montrent par exemple qu'une congruence ou qu'un élément de Z/nZ est encore quelque chose de très mystérieux pour les candidats...

En l'état actuel des choses, le jury d'oral du CAPES n'en fera qu'une bouchée s'ils passent la barre de l'écrit !

A l'oral, le travail du jury consiste d'abord à vérifier si les bases sont acquises. Les réponses données à ces exercices classiques sur les congruences ou Z/nZ montrent qu'elles ne le sont pas. Ces étudiants n'ont pas suffisamment "bouffés de la congruence" dans leurs vies ! C'est étonnant : comment peut-on décrocher une licence avec tant de lacunes en algèbre et en arithmétique ? La réponse est simple : on n'a jamais pris le temps de jouer avec ces notions et de les employer dans des raisonnements.

Encore une fois, il faut du temps pour comprendre.

Personne n'est coupable, c'est le système qui est fautif : depuis la seconde des lycées et jusqu'à la licence on s'éparpille tellement dans des domaines différents (on apprend encore de l'histoire-géographie en terminale scientifique, comme si cela allait aider nos futurs matheux !) que l'on n'a plus le temps de faire des mathématiques de base. Et en mathématiques, ne pas bien connaître ses bases c'est aller dans le mur et ne jamais être sûr de ce que l'on dit ou fait. En mathématiques on construit un édifice brique par brique, et une fondation mal assurée ne permettra pas de monter haut.

Voici donc les trois exercices posés en une heure. On touche les congruences et Z/nZ, et on avait déjà décortiqué ces questions en salle le mois précédent :


Voyons une des copies les plus réussies (!), celle d'une étudiante licenciée qui prépare le CAPES maths, intelligente et sérieuse quoique souvent dispersée en cours à cause d'une certaine addiction à Facebook. Le barème était de 6 points (4+2) pour la question 1, 6 points (3+3) pour la question 2, et 8 points (4+4) pour la question 3.

Voici sa réponse à la première question (puisée dans un livre de terminale S) :




On commence par écrire une phrase complètement fausse : suivant l'étudiante, dire que a est congru à b modulo c signifie que b est le dernier reste non nul dans la division euclidienne de a par c, puis on traduit cela (sans frémir) par une sorte de division euclidienne de a par b (où l'on ne précise pas que le soi disant reste c doit être compris entre 0 et b-1). Que d'erreurs et de confusion en seulement quatre lignes !

Répondre cela à l'oral disqualifierait immédiatement le candidat. Après avoir vu cette réponse, on ne s'étonnera plus que le jury n'arrive pas à pourvoir tous les postes offerts au CAPES Maths depuis quelques années déjà.

On parle de reste de division euclidienne parce qu'on n'a retenu que ce passage : cela provient sans doute de l'obsession de prendre le plus beau des représentant d'une classe de Z/nZ, celui qui est positif et strictement inférieur à n. On mélange tout en parlant d'un dernier reste non nul : là on pense à l'algorithme d'Euclide du calcul d'un pgcd. Les connaissances ne sont pas assurées, c'est l’imbroglio total...

Pour couronner le tout, on écrit une division euclidienne qui n'a rien à voir avec celle annoncée ! Chers futurs candidats : relire sa copie est nécessaire si vous ne désirez pas être sabrés !

Les symboles X! marqués en rouge sur la copie signifie que l'on a fait une erreur éliminatoire, et qu'à ce moment le correcteur peut sauter jusqu'à la fin de la démonstration, mettre un 0 à la question, et passer à la question suivante. Ici, je continue à corriger car je veux exhiber ces erreurs pour que l'étudiant en prenne conscience : sans ce premier libérateur, pas de progrès possible.

Les implications écrites dans la suite du raisonnement sont justes mais ne sont pas expliquées. Elles sont assénées, et là encore on perdra des points (si on n'avait pas déjà tout perdu). Heureusement, la réciproque est prouvée à l'aide d'un contre-exemple. Le sens direct a rapporté 0,5 points sur 4 à cause des implications et parce qu'on est en examen. C'est noté très sympathiquement : au concours, la note sera 0/4.

La question 2 est réussie car j'ai choisi une bonne copie. Le correcteur est heureux de pouvoir mettre 6 points sur 6 à cette question :




J'avais demandé de bien travailler les exercices de base sur Z/nZ... Peu d'étudiants ont pourtant répondu à la question 3 qui demandait de démontrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.

C'est la première chose que l'on apprend une fois connue la définition des classes d'équivalence modulo un entier. Encore une fois, une telle question peut aussi être posée à l'oral du CAPES, et peut rapidement mener à des questions enchaînées qui permettront au jury de sonder les lacunes éventuelles du candidat... Attention à la Bérézina !

Voici ce qu'on peut lire sur cette même copie :



Il manque des accents et une marque du pluriel : encore une fois, rédiger ainsi au CAPES sera éliminatoire. Il faut rédiger en Français, en écrivant les accents et en mettant la ponctuation et les majuscules aux bons endroits. On ne peut PAS envisager de placer un licencié de maths devant des milliers d'élèves s'il montre qu'il refuse de rédiger en Français : un enseignant doit montrer l'exemple (à répéter 10 fois chaque matin en se brossant les dents, pendant 2 semaines !).

Quand au signe / placé horizontalement dans Z/nZ, cela donnera des démangeaisons à 80% des correcteurs. Cette future candidate veut-elle vraiment donner de l'urticaire à son correcteur ? Est-ce la meilleure façon de se le mettre dans la poche ?

Plus sérieux, on lit que n ne doit pas diviser classe(x) (le x avec un point dessus), et là on est très content, parce qu'un entier naturel n ne pourra de toute façon jamais diviser une classe de x modulo n, tout simplement parce que ces deux bestioles ne vivent pas dans le même ensemble ! On dira que ce n'est pas grave, que c'est une erreur inattention et qu'il faut rester bienveillant. FAUX ! On insiste en disant que n est premier avec classe(x). Moi, je dirai donc que la candidate n'a pas compris la différence entre une classe d'équivalence et un représentant de cette classe. Et c'est MORTEL à l'écrit comme à l'oral !

Bien sûr, on a fait baisser le niveau du recrutement en simplifiant le programme à l'extrême, mais l'étude des anneaux Z/nZ figure encore en CPGE donc fait entièrement partie du programme de l'écrit du CAPES.

L'erreur suivante, très MORTELLE, consiste à affirmer que si x est premier avec n, alors x est congru à 1 modulo n. La candidate montre que toute classe de x dans Z/nZ, distincte de la classe de zéro, est égale à la classe de 1. Autrement dit, Z/nZ est forcément égal à Z/2n, ou si l'on préfère : on a toujours n=2. Il faut imaginer les conséquences de ce que l'on écrit ! La candidate a-t-elle un jour ouvert un cours d'algèbre ? A-t-elle un jour eu le temps de travailler quelques exercices sur Z/nZ pendant ses trois années de licence ? On n'a sans doute plus le temps de faire des maths de base pendant les trois années de licence, et comme il faut des licenciés, on les prend (heureusement pour moi qui serait sinon au chômage). Il faudra travailler très dur pour obtenir ce fameux CAPES...

Le master MEEF fait perdre beaucoup de temps à faire autre chose que des maths : on apprend le fonctionnement du système éducatif, on fait des TICE, on parle de recherche en pédagogie, de la façon de survivre en atmosphère délétère d'organiser des activités mathématiques dans une classe trop hétérogène devant des élèves analphabètes et qui pour certains n'ont rien à faire des maths qui peuvent rencontrer des difficultés et qu'il faudra motiver, on demande de réfléchir sur les programmes, d'apprendre des méthodes pédagogiques, etc. OK ! Passez votre master, mais si votre niveau en maths reste insuffisant, sachez que vous aurez besoin de passer le CAPES plusieurs années consécutives après avoir obtenu votre master, car là, ce n'est pas la même chose : c'est l'employeur qui recrute. Il descendra le niveau autant qu'il le peut, mais tant que des matheux feront passer le CAPES maths, certaines lacunes ne pardonneront pas.

Terminons sur une autre copie comportant 2 fautes éliminatoires :

  • On écrit que d'après le petit théorème de Fermat, 10 puissance p-1 est congru à 1 modulo p et p premier. On ne sait donc plus la différence entre une hypothèse et une conclusion ! Je rappelle qu'on est en classe de mathématiques...
  • Pour résoudre une congruence d'inconnue k, on conclut en disant "Par conséquent 10 puissance k est congru à 1 modulo 7" puis la catharsis. Ah ? Et la réponse à notre problème alors ? C'est lié ? Que voulez-vous dire ? Le jury n'est pas là pour compléter les raisonnements du candidat ni pour tenter de comprendre à partir de quelques phrases qui ne veulent rien dire.

Non ! Là encore il faudra boulonner sévèrement pour rattraper le temps perdu et tenter de s'en sortir...







Commentaires

  1. Cher collègue, je tombe sur votre blog, car tout en corrigeant mes copies du dernier Capes blanc, je fini par m'ennuyer et à aller lire tout autre chose sur mon ordinateur. A en lire ces extraits de copies, je constate que l'on est dans la même galère à essayer de ramer contre l'inéluctable. Je devrais faire, moi aussi, une compilation de mes "perles". Dans les copies que je viens de corriger je viens de lire : MX=0 (M matrice carrée, X vecteur colonne), donc det(M)*det(X)=0; or X est non nul, donc det(M)=0.
    En bref, je fais le même triste constat que vous, et j'ai la même analyse, ce ne sont pas tant les étudiants qui sont à blamer, mais plus ce qu'on leur a enlevé depuis ces 20 dernières années.
    Bien cordialement,
    A DA SILVA (Université de la Nouvelle Calédonie)

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  2. Merci pour votre commentaire, qui montre que je ne suis pas le seul à ressentir cette baisse de niveau. Une baisse programmée par d'innombrables choix négatifs faits depuis les années 1980, à l'encontre de la formation de nos jeunes scientifiques.

    Que peut-on espérer avec un cursus S bâti comme il l'est au lycée et des choix pédagogiques douteux qui ne préparent ni à l'abstraction, ni à la rigueur ? On récolte toujours ce que l'on sème.

    Bonne journée à vous,
    djm

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  3. Cher Monsieur Mercier,

    Je suis actuellement en reconversion, et ai pu m'inscrire en M1 MEEF. J'avoue que je suis tout à fait d'accord avec vous. Je suis parfois sidérée de voir que bien que mes connaissances datent de 20 ans, et que je n'aie pas de licence de mathématiques, mais seulement un niveau de prépa (d'il y a un peu plus de 20 ans, donc), j'ai parfois des surprises devant les réponses ou l'ignorance de mes camarades. Qui ne manquent pourtant pas de volonté. J'avais quasiment tout oublié des techniques, surtout en algèbre, mais il reste que sur tout ce que vous décrivez, et sur les notions fondamentales, je suis généralement plus au point qu'eux, ce qui me semblait franchement incroyable au début. De même sur le raisonnement, tout ce qui me paraissait évident ne l'est souvent pas pour eux. Au point que nous avons eu un cours spécifique sur le raisonnement, auquel je me suis profondément ennuyée, alors qu'eux l'ont trouvé difficile...
    Il faut dire aussi que le nombre d'heures de discipline est bien trop faible, et que le reste submerge souvent de travail les étudiants (étant plus adulte ait ayant déjà l'équivalent d'un master, je gère mes priorités, mais ceux qui ont besoin de réussir le master ne peuvent pas traiter ces autres matières avec désinvolture...)
    J'ai retrouvé l'épreuve du Baccalauréat que j'avais passée en 1992, et il est vrai que c'est fort différent des épreuves actuelles (mais on nous dit qu'à l'époque les élèves n'apprenaient pas à réfléchir, que le travail était trop prémâché... maintenant ils savent résoudre des problèmes!)

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    Réponses
    1. Merci pour votre réaction qui me montre encore une fois que, malheureusement, les formateurs actuels ne se trompent pas quand ils relatent une formidable baisse du niveau. Apprendre à raisonner en master de maths... C'était vraiment quelque chose d'impensable en section mathématiques il y a quelques années.

      En fait, en matière de raisonnement et pour de nombreuses bases en mathématiques, j'ai tout appris en terminale C (BAC 1975) et je n'ai plus eu qu'à compléter pendant les années universitaires. Mes camarades aussi avaient un niveau qui leur laissait la possibilité d'envisager des études supérieures avec confiance. Comme cela a changé aujourd'hui !

      L'orientation actuelle ne pourra plus être modifiée rapidement, puisque le recrutement d'une masse importante de pédagogues a été effectué, et que ceux-ci se battront pour leur chapelle. Et tant pis pour les disciplines et les résultats qu'obtiendront nos étudiants à l'orée de leur entrée sur le marché du travail.

      Cet avachissement des contenus scientifiques enseignés et assimilés est maintenant une donnée réelle sur laquelle il faut tabler. Les élèves du lycée qui désirent faire des carrières scientifiques auront de longues années de difficultés à surmonter avant d'arriver à s'y retrouver. Qu'ils aient le courage de surmonter tous ces obstacles inventés par une idéologie égalitaire mal comprise !

      Pour aujourd'hui, je vous souhaite de réussir rapidement dans vos projets et d'apporter vos connaissances avec vous. On a besoin de vous !

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