Une isométrie d'un espace affine euclidien est-elle obligatoirement affine ?


Je viens de recevoir le courrier d'un lecteur me demandant de justifier une rédaction un peu courte d'un théorème du Cours de géométrie, pour répondre à la question cruciale : « Une isométrie d'un espace affine euclidien est-elle obligatoirement affine ? »

Cette affirmation est juste. Elle est aussi très belle, et arrive à nous donner immédiatement des dizaines de propriétés importantes des isométries simplement en recyclant les propriétés générales des applications affines. Retour sur un bien joli phénomène :



QUESTIONS



From: N.M.
Sent: Tuesday, November 24, 2015 9:46 AM
To: Dany-Jack Mercier
Subject: Re: Question au sujet du chapitre 13 du Cours de géométrie
 
Monsieur Mercier,
 
A propos de la lecture du livre Cours de géométrie, j'ai une question à vous poser. J'espère que vous pourrez prendre le temps d'y répondre. Au départ, cette interrogation de ma part : une application qui conserve la distance est-elle nécessairement affine ?
 
A la page 273 (Ch.13 Isométries affines), vous définissez une isométrie comme une application qui conserve la distance, puis vous semblez prouver qu'elle est affine.
 
Merci d'adopter ce point de vue, contrairement à Messieurs Monier (Géométrie MPSI) ou Arnaudiès-Fraysse (Algèbre bilinéaire et Géométrie) qui se préoccupent peu de l'éventualité d'isométries non affines, en définissant directement les isométries comme des applications affines qui conservent la distance.
 
Cependant, je ne comprends votre preuve : certes, vous prouvez qu'une isométrie a une partie linéaire qui conserve le produit scalaire. Mais je ne vois pas où vous prouvez l'existence de cette partie linéaire :
  1. Pourquoi est-elle bien définie, c'est-à-dire pourquoi l'image d'un vecteur par cette partie linéaire ne dépend-elle pas des points choisis pour représenter ce vecteur ?
  2. Pourquoi est-elle linéaire ?




REPONSES

Bonjour cher lecteur,
 
Je peux confirmer que, dans un espace affine euclidien E, toute application de E dans E qui conserve les distances est nécessairement affine. Le premier théorème 13.1 du chapitre 13 de mon Cours de géométrie est juste.
 
Voici les réponses à vos deux questions tout à fait licites. 
  1. L’application l définie dans la preuve du théorème 13.1 est bien définie parce que, à un vecteur u donné il existe un et un seul point M tel que u = OM, le point O ayant déjà été fixé au début de la démonstration, si bien que le vecteur f(O)f(M) sera bien défini pour tout le monde, d'une unique manière à partir de la donnée du vecteur u. C'est ce vecteur f(O)f(M) qui sera l'image de u par l. 
  2. L'application l sera linéaire à partir du moment où elle conserve le produit scalaire, car on dispose du très indispensable théorème 7.1 du chapitre sur le groupe orthogonal d'un espace euclidien. Ce théorème énonce entre autre qu'une application est orthogonale, c'est-à-dire conserve le produit scalaire, si et seulement si elle est linéaire et conserve la norme. Donc une application qui conserve le produit scalaire est nécessairement linéaire.

Ces résultats sont en effet très importants et très éclairants pour celui qui avance dans ces chapitres. De plus, une question était très prisée des jurys de CAPES il y a quelques années, à l'époque où les applications affines faisaient encore partie du bagage du professeur certifié. A l'oral, il n'était pas rare qu'un membre du jury demande si conserver les distances suffisait à assurer qu'une application était affine, puis demandait de produire une démonstration. 

La construction de mon Cours de géométrie s'est faite autour de mes notes diverses et de la préparation au CAPES que je donnais à l'IUFM : d'où cet intérêt pour les questions pièges et leurs réponses qui égrainent  les différents chapitres de cet ouvrage.

Bonne visite en terre de géométrie euclidienne :)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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