Ce théorème de convergence dominée commence à m'énerver...

Voici un mél reçu ce lundi 25 janvier 2016, au sujet du théorème de convergence dominée dans le programme de l'agrégation interne. On impose actuellement de n'intégrer que des fonctions continues par morceaux, ce qui selon moi est une régression par rapport à la théorie d'intégration de Riemann qui me semble plus riche et instructive, sans parler de l'intégration au sens de Lebesgue. 

Mais les programmes de CPGE se sont alignés sur la drôle de façon d'introduire l'intégration, ou plutôt de survoler tout ça dès la terminale. C'est flou, et cela prend forme seulement en CPGE ou en licence avec des constructions rigoureuses, même si l'on se borne à ne reconnaître que des fonctions continues par morceaux, ce qui est très réducteur. 

Ce sera la mode pour quelques années avant un prochain changement de cap : les choses humaines fonctionnent ainsi.

Assez bavardé. Voici la question de Nicolas :


QUESTION

Je continue en *** ma préparation à l'agrégation interne de mathématiques, en m'appuyant toujours sur vos ouvrages (Cours de géométrie, Annales 2005-2013, Annales 2014). Je me suis procuré récemment votre livre Annales de l'agrégation interne 2015. A trois jours des écrits de l'agrégation interne 2016, j'ai une ultime question à vous poser.

  • Dans votre livre Annales de l'agrégation interne 2015, vous citez en annexe le théorème de convergence dominé. L'hypothèse est faite d'une :
    - suite croissante de fonctions continues par morceaux sur un intervalle I, positives intégrables sur I et qui converge simplement vers une fonction continue par morceaux
  • Dans le programme officiel, l'hypothèse est faite d'une :
    - suite croissante de fonctions continues par morceaux sur l'intervalle I, intégrables sur I et qui converge simplement vers une fonction continue par morceaux.
    ON PERD LA POSITIVITE DES FONCTIONS
  • Dans le Mathématiques pour l'agrégation interne, analyse & probabilités de Dantzer, l'hypothèse est faite d'une :
    - suite croissante de fonctions positives intégrables sur un intervalle I et qui converge simplement vers une fonction continue par morceaux
    ON PERD LA CONTINUITE PAR MORCEAUX DES FONCTIONS


Quel énoncé me conseillez-vous pour jeudi ? Puis-je me permettre de perdre à la fois la POSITIVITE et la CONTINUITE PAR MORCEAUX  ?

Ma connaissance de la théorie de Lebesgue est quasi-nulle : c'est d'autant plus frustrant d'avoir des énoncés différents de résultats qu'on ne peut pas démontrer.



REPONSE


Dans le théorème 2.1 de mes annales 2015, l’énoncé correspond exactement à celui du Th. 23.12 du Dantzer, et je pense qu’on peut s’y fier. On ne perd pas le continuité par morceaux des fonctions comme vous le dites, car on suppose dès le départ que la suite tend vers f qui est continue par morceaux.

Cette “continuité par morceau” est en fait imposée actuellement dans les programmes de CPGE pour ne pas avoir à parler de fonction intégrable au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue. Il s’agit donc d’une simplification qui rend certains énoncés encore plus obscurs, mais c’est la mode pour quelques temps...

La positivité de la suite des fonctions croissantes ne me semble pas obligatoire dans l’énoncé du théorème de convergence monotone, l’important étant s’avoir une suite monotone dont les intégrales de ses termes sont majorées par une constante. Donc l’énoncé du programme officiel doit tenir la route aussi.

De toute façon ces énoncés sont admis pour l’agrégation interne. Au passage cela fait longtemps que je n’ai plus revu l’intégrale de Lebesgue présentée dans le Rudin, mais en ce qui nous concerne, il ne s’agit pas de celle-ci puisqu’on ne parle que de fonctions continues par morceaux (on est dans des hypothèses plus fortes et c’est dommage, mais ce n’est pas nous qui avons décidé...).

J’espère vous avoir un peu aidé dans ces théorèmes aux énoncés si... chaotiques. Et je comprends votre (notre) frustration. Passez outre. Appliquez le théorème de votre choix quand vous serez en situation. Et reposez-vous, faites le vide avant ces épreuves : vous réagirez "pour le mieux" au moment présent.








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