A n'importe quel niveau, on ne se lasse jamais d'enseigner comment chercher une solution...

Agrégation interne 2016, première composition. Ah je ne voulais pas spécialement toucher à cette composition ! Mais la parution de mon dernier opus Formules de Taylor et développements limités m'a laissé le bec dans l'eau à l'approche des vacances de Pâques. Un collègue de l'ESPE m'avait dit une semaine plus tôt qu'il avait résolu les 4 premières parties de la composition 1 de l'agrégation interne 2016, mais qu'il y avait des blocages dans la cinquième partie. Peste et commisération, c'est ce qui arrive souvent !

J'ai trouvé quelque chose d'intéressant à faire et qui devrait me permettre de publier un volume 14 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES, sur un sujet qui me plaît énormément (mais qui n'est pas forcément porteur), qui mérite d'être approfondi et présenté avec soin, et ce qui ne gâche pas le plaisir, c'est de voir que j'ai déjà écrit environ 130 pages là-dessus, sur lesquelles il faudra bien sûr revenir et se replonger. Mais cela risque d'être une insondable partie de plaisir...

Et je me suis dit que je pouvais regarder cette composition 1 et essayer d'avancer dans les questions au brouillon seulement, donc en privilégiant la VITESSE. Une chose que je n'avais pas faite depuis quelques années quand j'avais décidé de boulonner sur ces compositions : je m'étais habitué à retaper d'abord un morceau de l'énoncé (poisse, c'est long et fastidieux) puis avancer au brouillon (bien sûr) par séries de questions (en continuant au brouillon jusqu'à finir une question ou avoir envie de changer de type de travail), puis enfin rédiger directement à partir de mon brouillon en fignolant suffisamment et en rajoutant des remarques et des commentaires pour éclairer la solution.

Là, on privilégie la vitesse : on se rend libre d'écrire ce que l'on veut au brouillon (c'est ce que l'on doit toujours faire : il faut se "libérer de tous les carcans") et on avance autant qu'on peut. C'est ainsi que tout candidat à un concours est supposé faire : utiliser les feuilles vierges devant lui comme support de toutes ses investigations, sans devoir rédiger quoi que ce soit à ce niveau, mais en écrivant de façon à pouvoir se relire et se comprendre pour rédiger une solution impeccable par la suite (enfin, en rédigeant du mieux possible, bien sûr).

La mode est à parler de cartes mentales. Ici, on devrait parler de l'utilisation efficace d'un papier et d'un stylo connecté à son cerveau. Le travail sur brouillon, qui peut être une feuille ou un tableau, ne doit pas être négligé par quiconque désire positionner un problème pour essayer de le résoudre... Il s'agit d'écrire les hypothèses telles qu'on les comprend pour ne pas les oublier, puis parfois écrire la conclusion avec un beau point d'interrogation à côté pour rappeler que c'est ce que l'on cherche, puis suivre ses idées en commençant par les plus naturelles, les plus susceptibles de fonctionner. Là, il ne faut pas surtout pas se brimer : il faut écrire comme on le désire, laisser libre court à son imagination, utiliser autant de papier que nécessaire sans se limiter : écrire librement ! Là, il faut établir des liens, dessiner des flèches pour matérialiser ces liens sur le papier et pouvoir se relire plus tard facilement quand on devra rédiger tout en sachant les raisons de nos déductions, faire des vérifications utiles,  changer son fusil d'épaule à certains moments, tenter des solutions, etc.

Si on a de la chance, on trouve la réponse après avoir "gigoté" pendant quelques minutes. Si on trouve la réponse, on n'a plus qu'à barrer grossièrement et rapidement toutes les traces des essais que l'on a effectué au brouillon pour pouvoir plus tard se relire facilement en suivant le bon parcours, puis choisir entre rédiger (directement au propre) ce que l'on trouvé ou continuer à prospecter en cherchant la réponse à la question suivante sans attendre, tant que l'on est dans le bain et que l'on sait bien de quoi on parle, avec les notations bien en tête...

C'est ainsi que, dans la matinée du mercredi 16 mars 2016, je me suis trouvé en train d'aborder la première composition de l'agrégation interne 2016 au brouillon. Le lendemain j'ai avancé d'une question de plus. J'ai finalement eu de la chance puisque j'ai pu arriver jusqu'à la partie III incluse. Pour le reste, je verrai tard : il y aura certainement des blocages...

Mais rappelons que les blocages dans un énoncé de concours ne sont pas un problème pour le candidat puisque personne, ou presque, n’arrivera à les lever en temps limité. Les questions qui rapportent sont celles qui sont à portée, pas celles qui auxquelles il est impossible de répondre. Ce sont les réponses que je conseille de travailler en priorité pendant son année de préparation ! Celles sur lesquelles on peut s'entraîner efficacement (et en s'amusant).

Les blocages sont réellement mortels pour ceux qui veulent traiter le problème en entier en étant tranquillement chez eux, par exemple pour proposer une solution de l'épreuve entière. Ce n'est absolument pas le problème du candidat. C'est une autre histoire.

En avant-première, et pour montrer à quoi peut ressembler un brouillon véritable, vous pouvez retrouver ma solution de la première partie au brouillon, avec les flèches, les traits, les ratures, les références aux questions utilisées... Cela donne une idée de la liberté avec laquelle on écrit à ce moment, mais aussi des astuces pour pouvoir relire ces schémas de recherche en les comprenant  à nouveau rapidement pour pouvoir les rédiger au propre DIRECTEMENT. Dans une épreuve, le facteur temps est primordial.

On trouvera l'énoncé de la première composition d'agrégation interne 2016 et ma solution au brouillon sur la page des annales de MégaMaths à l'année 2016. 

La première page du scan de mon brouillon a été écrite le lendemain pour m'aider à retrouver les notations choisies de l'épreuve. C'est ce que doit faire le candidat quand les notations deviennent trop nombreuses et difficiles à retenir : un brouillon doit aider la recherche par tous les moyens !

Un dernier point : en TD, j'aime bien rechercher la solution d'un exercice en écrivant comme sur ces brouillon au tableau, puis en utilisant ce brouillon pour éventuellement rédiger une solution complète. Cela présente beaucoup d'avantages : cela permet de montrer comment on réfléchit, comment on localise les hypothèses et la conclusion, comment on trouve des idées, comment on les combine et comment on établit des liens entre ces idées. On rentre alors dans le véritable travail mathématique : celui de l'utilisation des assertions connues comme vraies pour déclencher des réactions en chaîne pour obtenir un nouveau résultat en utilisant un raisonnement inductif.

Du bel art : c'est beau, efficace, et peut être utilisé dès l'école primaire ! A n'importe quel niveau, on ne se lasse jamais d'enseigner comment rechercher une solution...



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