Oral du CAPES 2016 : compte rendu d'une leçon sur les congruences

Témoignage de Francesca
(le nom a été modifié)

Voici un compte rendu d'oral 1 de juin 2016 qui s'est bien déroulé. On constate que le jury demande de bien savoir ce que l'on présente, mais reste modeste sur le type de questions posées. Il s'agit de vérifier si les connaissances de la candidate sont claires et solides, lui permettant d'avoir un minimum de recul pour enseigner en terminale. Analyser ce compte rendu donnera des idées sur la tenue d'un oral victorieux :

Convoquée à 12h20, début de la préparation à 14h05. Je tire le sujet comprenant le couplage "Droites du plan" et "Congruences dans Z". Je décide de choisir la leçon sur les congruences après avoir réfléchi sur les questions qui pourraient m'être posées La leçon sur les droites du plan me semble trop compliquée. 

Me voilà donc partie pour 2h30 de préparation. Je ne perds pas de temps. Je commence sur les chapeaux de roues. Je décide de faire un plan en trois parties, au niveau terminale S spécialité maths. Le plan est le suivant :
      1. Introduction
      2. Définition et propriétés
      3. Applications 

Je choisis de faire une introduction comme dans les programmes de terminale S spé maths, c'est-à-dire en introduisant les congruences à partir d'une activité. Ensuite dans ma seconde partie, je suis le plan suivant :
      1.1 Définitions et exemples
      1.2 Propriétés
      1.3 Petit théorème de Fermat et conséquences 

Dans la première sous-partie, je définis la congruence dans Z. Ensuite, je donne quelques exemples pratiques et simples comme je le ferais en cours pour expliquer aux élèves. Dans la seconde sous-partie, je donne les propriétés des congruences, notamment l'équivalence de a congrus à b mod m si et seulement si a et b ont même reste dans la division euclidienne par m, mais aussi la relation d'équivalence (sans la nommer) et les opérations sur les congruences. A ce moment-là de la préparation, je me dis que cela risque d'être un peu juste niveau temps de ne faire que cela, donc je décide d'introduire le petit théorème de Fermat, tout en redoutant le développement de la démonstration. Ce théorème et son corollaire sont placés dans une troisième sous-partie. 

Dans ma dernière grande partie, je propose des applications telles que les critères de divisibilité, et des applications directes des congruences. J'oublie de parler de cryptographie même si j'y avais pensé avant. 

A la fin de ma préparation, je prends 20 minutes pour apprendre la démonstration du petit théorème de Fermat car une intuition me dit de le faire… 

Je pars donc présenter ma leçon devant le jury. Le jury a l'air très sympathique. Ils mettent à l'aise tout de suite. Je commence donc ma leçon. Après un développement qui a duré pile-poil le temps, pas manqué, le jury me demande de développer la démonstration du théorème de Fermat et de son corollaire. Je réalise la démonstration sans mes notes pour ce qui est du petit théorème de Fermat. Pour son corollaire, j'ai un petit trou, mais le jury me vient en aide et ça repart.  

On passe ensuite aux questions. Le jury me pose des questions sur ma démonstration pour commencer (sur l'absurdité, quand on doit démontrer que les r_{k} sont distincts…). [Raisonnement est précisé à la fin de cet article.]

Ensuite, le jury me demande de développer un exercice qu'il propose. Je crois que c'était : « Montrer que 3n+7 n'est pas divisible par 3 ». On m'a ensuite posé des questions sur l'un de mes exercices avant de revenir sur ma définition de la congruence. Je l'avais donnée pour tout entier naturel n. Que signifient le modulo 1 et le modulo 0 ? J'ai pu répondre dans les deux cas après quelques secondes de réflexion. 

Pour finir, on a parlé cryptographie. On crypte de manière affine tel que y soit congru à 3x+10 mod 26. Comment décrypter un message crypté de cette façon (sans repasser aux lettres) ? J'écris donc que y-10 doit être congru à 3x mod 26, puis je bloque un peu, mais dans une dernière lueur, je me souviens qu'il faut calculer l'inverse de 3 modulo 26. 

L'entretien se termine et je sors très déçue car j'ai l'impression de ne pas avoir répondu toujours assez vite... 

Finalement, j'ai obtenu 18 sur 20, et j'ai bien eu mon CAPES avec de bonnes notes puisque je finis ***e sur 1135.



Preuve du petit théorème de Fermat dans un manuel
de mathématiques de terminale S (spécialité maths) en 2016





Commentaires

  1. C'est bizarre la photo à la fin, car le petit théorème de Fermat n'est plus au programme en TS Spé...

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  2. Il l'était il y a peu, et on a le droit de faire un peu de hors programme...

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    1. Oui, je trouvais juste étonnant qu'il se trouve dans un manuel en 2016 ;)

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  3. Pourquoi modifier le prénom alors qu'on peut retrouver facilement le prénom d'origine avec la place au classement du capes ?

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    1. J'ai supprimé le rang. Merci de m'avoir averti :)

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