Combien d'erreurs dans ces 6 lignes de réponse ?


J'ai retranscris ici, sans les fautes d'orthographe et de ponctuation, une réponse lue sur une copie de contrôle continu de master MEEF. Cette réponse contient de nombreuses erreurs que le lecteur devrait trouver rapidement s'il possède un oeil exercé. Combien d'erreurs peut-on relevée dans ces 6 lignes ? L'exercice demandait de proposer trois définitions équivalentes d'une application orthogonale.


Réponse à analyser

Soit un ensemble E. Alors : 
  (1) Une application orthogonale transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
  (2) Une application orthogonale transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
  (3) Une application orthogonale conserve le produit scalaire : ∀x∈E  ‖u(x)‖=‖x‖. 
  (4) Une application orthogonale conserve la norme.


Réponse originelle



      Analyse 

      ∙ La première erreur mortelle apparaît immédiatement. On nous mène en bateau puisque aucune de ces phrases ne constitue une définition d'une application orthogonale. Ces phrases ne font qu'énoncer des propriétés des applications orthogonales, sans jamais les définir. Si la première phrase m'indique qu'une application orthogonale transforme toute base orthonormale en une base orthonormale, elle ne me dit pas ce qu'est une application orthogonale. C'est un peu comme si, voulant définir un chat, on disait qu'un chat mange des souris. La question est alors de savoir si les souris sont uniquement mangées par des chats, ce qui signifierait alors que « manger des souris » est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour être certain d'avoir un chat. Cette première erreur est éliminatoire et justifie à elle seule un zéro à la question. 

∙ La seconde erreur importante, et la traduction donnée pour la conservation du produit scalaire. Cette traduction est fausse, puisqu'on décrit seulement la conservation de la norme. La conservation du produit scalaire s'énonce plutôt en disant que u(x).u(y)=x.y quels que soient les vecteurs x et y dans E. 

      ∙ Continuons à traiter ces fautes par ordre d'importance. En troisième position vient la réponse (4). La phrase écrite en (4) est vraie, mais ne constitue pas une CNS pour qu'une application soit orthogonale. Pour que cela devienne une CNS, il ne faut pas oublier de préciser que cette application doit être linéaire. Tout le monde retient qu'une application orthogonale est une application linéaire qui conserve la norme. Encore une erreur importante à relever. 

      ∙ Le texte proposé indique que E est seulement un ensemble, ce qui est insuffisant car on ne peut pas parler de bases orthonormales dans un ensemble quelconque. Pour le faire, il faut se placer dans un espace vectoriel, ce qui échappe au rédacteur. Cette erreur est moins importante que les précédentes, mais la nature des erreurs qui précèdent indiquent qu'il ne s'agit pas uniquement d'une omission ou d'une étourderie : le rédacteur ne sait certainement pas dans quel ensemble il doit se placer pour proposer ces définitions. Il lui reste beaucoup à apprendre. 

Pour conclure, on dira que les trois premières erreurs relevées sont éliminatoires, et que la dernière est la seule qui pourrait être mise sur le compte de l'étourderie. Un candidat au CAPES ne peut laisser de telles erreurs dans sa copie sans être pénalisé. Il faut rappeler qu'une fois recruté il deviendra l'unique référence dans sa classe, pour tout ce qui touche aux mathématiques, et devra proposer des définitions inattaquables.


      Correction possible

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Une application de E dans E est dite orthogonale si l'une des propriétés équivalentes suivantes est satisfaite : 
      (1) u conserve le produit scalaire (i.e. ∀x,y∈E  u(x).u(y)=x.y). 
      (2) u est linéaire et conserve la norme (i.e. ∀x∈E  ‖u(x)‖=‖x‖). 
      (3) u est linéaire et transforme une base orthonormale en une base orthonormale. 
      (4) u est linéaire et transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.



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