TEST : une équation simple avec des radicaux


Voici un énoncé d'exercice et une réponse que l'on pourrait lire sur une copie. On demande d'analyser la réponse et de décider si elle est VRAIE ou FAUSSE. Ce n'est pas si facile, mais si on se méfie, on prend ses précautions. Ce test a été donné à des étudiants de L2 et on a compté seulement 23% de réussite, ce qui fait trois quarts d'échecs sur une équation qui se ramène à du premier degré. Il y a donc une entourloupe... A vous de juger en faisant attention : le symbole √(x²-2x) désigne le radical de toute l'expression x²-2x. Voici:


EXERCICE

Résoudre dans R l'équation √(x²-2x)=x-3.


Réponse à analyser

La racine carrée doit être définie donc x²-2x≥0, d'où x∈]-∞,0]∪[2,+∞[. Si l'on élève au carré on obtient immédiatement x²-2x=(x-3)²=x²-6x+9 d'où x=9/4, donc l'équation a une unique solution qui est x=9/4.

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VOICI LA SUITE DU TEXTE AVEC LA REPONSE :


Analyse

Le rédacteur n'a pas été suffisamment précautionneux, même si le raisonnement est presque bon. S'il vérifie bien que les objets utilisés dans cette équation, ici une racine carrée, imposent d'avoir x²-2x≥0, il oublie une condition nécessaire à l'existence de solutions : que x-3 soit positif puisque devant s'écrire comme un radical. 
Comme 9/4 n'est pas supérieur ou égal à 3, la solution obtenue est à rejeter et l'équation proposée n'admet pas de solution.


Correction possible

Avec ce type d'équation, la difficulté est réelle. Une façon de s'assurer que l'on ne se trompe pas consiste à travailler par conditions nécessaires pour trouver tous les x qui pourraient être solutions, puis vérifier pour chacune d'entre elles si effectivement elle vérifie l'équation demandée. Il ne faut pas se leurrer, en raisonnant ainsi, on raisonne par analyse-synthèse car on suit le schéma suivant :
« S'il existe une solution x alors ce ne peut être qu'un des nombres d'un certain ensemble E que l'on détermine (phase d'analyse) ; puis on teste chacun des nombres de E pour voir s'il s'agit bien d'une solution (phase de synthèse) »
Dans le cas de la résolution d'équations, la méthode d'analyse-synthèse peut aussi être appelée méthode par implication-vérification. Voici un exemple de rédaction de ce type : 
« Pour que l'équation ait un sens, il faut déjà que l'expression √(x²-2x) soit définie, ce qui impose d'avoir x²-2x≥0, c'est-à-dire x∈]-∞,0]∪[2,+∞[. On a :
          √(x²-2x)=x-3  ⇒  x²-2x=(x-3)²  ⇒  x²-2x=x²-6x+9  ⇒  x=9/4.
La seule solution éventuelle possible est donc x=9/4. Vérifions si elle convient en remplaçant. Si x=9/4, alors √(x²-2x) = √(((9/4))²-2×(9/4)) = (1/4)√(81-72) = (3/4) tandis que x-3=9/4-3=-3/4. Comme 3/4≠-3/4, la solution x=9/4 est à rejeter. En conclusion, l'équation proposée n'admet aucune solution dans R. » 
Un autre style de rédaction consiste à procéder par équivalences successives, en faisant attention à chaque pas de bien remplacer un système d'équations ou d'inéquations par un autre système équivalent, c'est-à-dire possédant les mêmes solutions, jusqu'à obtenir un système plus facile à résoudre. Voici un exemple de rédaction par équivalences :




Remarques

Lors d'une expérimentation menée par un groupe de l'IREM de Rennes en 2003 (1), la « réponse à analyser » demandée dans cet exercice a été posée à 13 étudiants de seconde année de licence de mathématiques préparant le concours national d'entrée dans les grandes écoles d'ingénieurs. Voici les résultats :

      - 3 étudiants on trouvé l'erreur.
      - 5 étudiants ont jugé que le raisonnement était juste.
      - 5 étudiants ont estimé le raisonnement incorrect parce qu'il existerait des
        solutions supplémentaires. 

On compte donc seulement 23% de résultats positifs. Le rapport relate aussi que les rédactions d'enseignants utilisent essentiellement deux types de raisonnements : par analyse-synthèse ou par équivalences tels qu'on les a décrits plus haut.





(1) A. Paugam (sous la direction de), De la terminale à la fac : langage et exigence en mathématiques, année 2002-2004, IREM de Rennes, 2004.


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