ORAL CAPES MATHS : Quand on résout un système il faut penser à conserver les équivalences ou démontrer l'implication réciproque

Voici le compte rendu d'un oral 1 de la session 2017 gentiment envoyé par un candidat, qui nous permettra de mieux comprendre le déroulement d'un oral sur les systèmes d'équations.


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Pour le 1er oral, j’ai eu le couplage entre les leçons « Systèmes d’équations et systèmes d’inéquations ; exemples de résolution » et « Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace ». Aucune de ces leçons ne me dérangeais. J’ai pris la première et j’ai proposé le plan suivant :  
Définition d’un système d’équation, en précisant qu’il pouvait y avoir un couple unique de solutions, ou une infinité de solutions, ou encore aucune solution suivant la valeur de ab'-a'b
Résolution par substitution.
Résolution par combinaison linéaire.
Résolution graphique (j'avais préparé un exemple sur GeoGebra).
Résolution avec les matrices.
Résolution d'un système de 2 équations avec 3 inconnues. Je pose z=t de sorte que l’on aboutisse à une équation paramétrique d'une droite.
Je passe ensuite aux systèmes d’inéquations et à la méthode graphique de régionnement du plan (je n'en connais pas d'autre). J’ai proposé un très bel exercice avec GeoGebra, dont je suis assez fier car je ne me suis mis à étudier ce logiciel que depuis seulement deux mois).

Je me déplace pour aller exposer. A ce moment-là monte le jury m’indique que je n'ai aucune photo sur le disque et je m'aperçois avec stupeur et stress que mes deux GeoGebra ont disparu ! Je ne peux pas savoir si ils me croient ou non…

Je commence donc. Au bout de deux lignes je m'aperçois que j'ai oublié les prérequis, et je les marque en expliquant que c'est dû au stress des images qui ont disparues. Je continue mon exposé et au bout de 15 min, je n'avais pas encore commencé à parler des inéquations. Je saute donc le système 2,3 et j'explique comment résoudre graphiquement un système d’inéquations, mais sans GeoGebra je ne peux pas faire grand-chose si ce n'est expliquer oralement comment cela se résout graphiquement. Il me reste deux minutes, j’en profite pour parler du système 2,3. Je sais que ce n'est pas très rigoureux mais je voulais faire un maximum de choses. J’ai réagis suivant  mon stress suite à la perte de mes données numériques.

L’entretien commence :
1) Expliquer cette condition sur ab'-a'b. Les 3 cas correspondent à quelles figures sur un graphique ?  Pour l’origine de la condition sur ab'-a'b ; je leur demande si je peux parler de  vecteurs colinéaires, et le jury répond que je peux utiliser ce que je désire, donc j’utilise les coefficients directeurs des équations réduites. Le jury est satisfait.

2) Dans ma résolution avec les matrices je trouve la solution (-2,5). On me demande de la résoudre dans le corps des complexes. Je pose z=x+iy avec x en partie réelle et y en partie imaginaire, mais je m'aperçois que je devrais résoudre soit par substitution, soit par combinaison linéaire. Je dis donc que je n'ai pas compris la question. On me dit alors d'exprimer ma solution dans le corps des complexes et je leur dit -2+5i. Je pense que c’est seulement ce qu’ils voulaient car ils sont passés à autre chose.

Ce qui est difficile dans ces interrogations orales, c'est de comprendre la question posée, mais j’ai pu vérifier que le jury reformule facilement la question quand il s’aperçoit que le candidat ne la comprend pas.

3) Pour la résolution du système 2,3, le jury me demande si on est obligé de poser z=t. Je leur dis que oui, ou alots il faut poser x=t,  ou y=t. On me demande ce que je ferais s’il n’y avait pas de z. Je réponds qu’on revient à un système dans le plan, puis d'autres choses dont je ne me rappelle plus bien. Je ne réponds pas toujours au quart de tour.

4) Le jury me demande de chercher l'intersection de 2 cercles C(A,1) avec C(O,2) avec A(1,2) je crois. J’écris les équations des cercles, je simplifie, et j'arrive à une équation de droites et là je suis bloqué car je m'attendais à trouver 2 points. Voyant que je réfléchis, on m’incite à utiliser Geogebra. Question piège : si je réussis alors ils peuvent me croire pour les captures d'écran disparues de Geogebra, sinon on me prendra pour un menteur… Je réussis facilement à construire les cercles et faire afficher les intersections : je suis très content. On me demande de retrouver ces solutions dans mon équation de droite, ce que je fais. Ensuite le jury revient à la charge pour la résolution algébrique de la recherche de l’intersection de ces deux cercles. Je reste bloqué. On me donne une indication : le jury a donc vu où était blocage. Il me demande si je peux retrouver la droite que j’ai obtenue sur le graphique. Je leur dis que c'est la droite passant par les deux points que je cherche. Cela se termine en leur disant que j'étais désolé, que tout cela m'avait stressé… Le jury insiste pour dire que la perte des captures d'écran n'était pas grave car ils ont remarqué que je maîtrisais Geogebra (ce sont leurs mots).

Je termine cette épreuve en restant optimiste je ne pense pas avoir 18, mais plutôt 10 ou 12. J'ai trouvé ce jury très coopératif.





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REMARQUES DE DJM 


Le candidat a obtenu 6,6/20 après les ajustements d’usage. L’impossibilité de chercher algébriquement l’intersection de deux cercles dont on connaît les équations a dû peser lourd dans le jugement du jury. 

Pour résoudre un système d’équations formé par deux équations de cercles (donc du second degré en x et y), on doit faire attention à utiliser des équivalences ! Or le candidat a simplifié au maximum, jusqu’à obtenir une équation de droite. Etre solution du système originel implique d’appartenir à la droite qu’il a trouvé, et le candidat n’a jamais pensé à la réciproque. Il était bien ennuyé pour comprendre d’où venait cette difficulté, et il n’a pas su répondre. Pour résumé, le candidat a écrit une succession d’implications pour aboutir à une équation de droite, sans jamais se demander si l’équation de la droite impliquait le système donné au départ.

Cela montre un défaut de raisonnement très courant et très sanctionné par les jurys de mathématiques, puisque raisonner juste est très important dans notre discipline. Il faudra retravailler ce passage avant de représenter l’oral. Si l’on pense à conserver l’équivalence, on est sauvé !


Je remercie ce candidat pour ce compte rendu qui me permet d’avertir les autres futurs candidats sur l’importance de raisonner juste quand on résout des systèmes d’équations. Personnellement, je poserai cette question sur l’intersection de deux cercles dans les simulations que je ferai passer l’année prochaine.

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